Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD
（I）求证：平面PAD⊥平面PCD
（II）试在平面PCD上确定一点 E 的位置，使||最小，并说明理由；
（III）当AD=AB时，求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer

（I）由ABCD的底面是矩形，知CD⊥AD，由侧面PAD⊥底面ABCD，知CD⊥平面PAD，由此能够证明平面PAD⊥平面PCD．
（II）设E为PD中点，连 AE，由△PAD为正三角形得AE⊥PD．由平面PAD⊥平面 PCD，知AE⊥平面PCD．由此能够在平面PCD上确定一点E的位置，使||最小．
（III）过E作EG⊥PC，垂足为G，连AG，由AE⊥平面PCD，知AG⊥PC，所以∠AGE是二面角A-PC-D的平面角．由此能求出二面角A-PC-D的余弦值．
【解析】
（I） 证：∵ABCD的底面是矩形，
∴CD⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD⊂平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）【解析】
设 E 为PD中点，连 AE（5分）
由△PAD为正三角形得 AE⊥PD（6分）
又平面PAD⊥平面 PCD
∴AE⊥平面PCD（7分）
由几何意义知，PD中点 E，
即为平面PCD上使||最小的唯一点．（8分）
（III）【解析】
过E作EG⊥PC，垂足为G，连AG，（9分）
由 （II） 知AE⊥平面PCD，
∴AG⊥PC（10分）
∴∠AGE是二面角A-PC-D的平面角．（11分）
设底面正方形边长为2a，
∴AD=2a，ED=a，
∴AE=a
由 =，
∴EG=（12分）
tan∠AGE===（13分）
∴cos∠AGE=（14分）