Question

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于点P，且与曲线C相交于A、B两点的直线，且，问：是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设M（x，y）是曲线C上任意一点，那么点M（x，y）满足，由此能求出曲线C的方程．
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．假设使成立的直线l存在．①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且．得m2=k2+1．由此能导出存在两条直线l满足条件，其方程为：．②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，2），B（1，-2符合题意的直线l有两条：．
【解析】
（1）设M（x，y）是曲线C上任意一点，
那么点M（x，y）满足，
化简，得y2=4x（x＞0）．…（3分）
（2）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
假设使成立的直线l存在．
①当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，
由l与n垂直相交于P点且．
得，即m2=k2+1．①…（4分）
∴
∴…（5分）
=
=1+0+0-1=0，
即x1x2+y1y2=0．…（6分）
将y=kx+m代入方程y2=4x，
得k2x2+（2km-4）x+m2=0．…（7分）
∵l与C有两个交点，
∴k≠0，．②
∴x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）
=（1+k2）x1x2+km （x1+x2）+m2=0．③…（8分）
将②代入③得．
化简，得m2+4km=0．…（9分）
∵，
∴m≠0  ①∴m+4k=0   ④
由①、④得，或，…（10分）
得存在两条直线l满足条件，其方程为：．
②当l垂直于x轴时，则n为x轴，P点坐标为（1，0），A（1，2），B（1，-2）．
∴，
∴，
不合题意．
综上，符合题意的直线l有两条：．…（12分）
注：第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m，联立y2=4x建立y的一元二次方程更简单，且不需讨论．