Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer

（1）由已知，设出椭圆的方程，分析可得椭圆长轴长为，离心率，可得a、c的值，进而可得b的值，代入所设的椭圆方程即可得答案；
（2）根据题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立两者方程即，可得3y2+2y-1=0，解得；由三角形面积公式，计算可得答案；
（3）根据题意，分情况讨论，①当直线l与x轴垂直时，易得其不合题意，②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．联立，可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0；表示出两根之和、之积；又由y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）；可得
根据矩形的性质，结合向量的数量积的运算，可得k2=2，可得k的值，进而可得直线的方程．
【解析】
（1）由已知，椭圆方程可设为．
∵长轴长为，离心率，
∴．
所求椭圆方程为．
（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x-1．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由得3y2+2y-1=0，解得．
∴．
（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0．
∴．
∵y1=k（x1-1），y2=k（x2-1）
∴
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形．
由得k2=2，
∴．
∴所求直线的方程为．