Question

动点P在平面区域C₁：x²+y²≤2（|x|+|y|）内，动点Q在曲线C₂：（x-4）²+（y-4）²=1上，则|PQ|的最小值为    ．

Answer

由x2+y2≤2（|x|+|y|）可得：（|x|-1）2+（|y|-1）2≤2；又动点Q在曲线C2：（x-4）2+（y-4）2=1上，由题意可知，|C1C2|减去两圆的半径即为|PQ|的最小值．
【解析】
∵x2+y2≤2（|x|+|y|），即（|x|-1）2+（|y|-1）2≤2；
①若x＞0，y＞0，则（x-1）2+（y-1）2≤2；动点P在以C11（1，1）为圆心，为半径圆面内（第一象限）；
②若x＞0，y＜0，（则x-1）2+（y+1）2≤2；动点P在以C14（1，-1）为圆心，为半径圆面内；（第四象限）；
③若x＜0，y＞0，则（x+1）2+（y-1）2≤2；动点P在以C12（-1，1）为圆心，为半径圆面内；（第二象限）；
④若x＜0，y＜0，则（x+1）2+（y+1）2≤2；动点P在以C13（-1，-1）为圆心，为半径圆面内；（第三象限）；
即动点P在上述四个花瓣的图形上；
∴又动点Q在曲线C2：（x-4）2+（y-4）2=1上，即曲线C2是以C2（4，4）为圆心，1为半径的圆；
由图形可知，当点P在以C11（1，1）为圆心，为半径圆面内（第一象限）时，|PQ|才能取到最小值．
∴两圆心之间的距离|C11C2|==3＞+1，
∴圆面C11与圆C2相离，
∴|PQ|的最小值为|C11C2|减去两圆的半径之和（1+），即；
故答案为：．