Question

如图，已知椭圆C：的长轴AB长为4，离心率，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明Q点在以AB为直径的圆O上；
（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．

Answer

（1）由题设可得，由此能导出椭圆C的方程．
（2）设P（x，y），则．由HP=PQ，知Q（x，2y）．．所以Q点在以AB为直径的圆O上．
（3）设P（x，y）（x≠±2），则Q（x，2y），且．所以直线AQ的方程为．令x=2，得．又B（2，0），N为MB的中点，所以，，．由此能导出直线QN与圆O相切．
【解析】
（1）由题设可得，
解得，∴b=1．
∴椭圆C的方程为．
（2）设P（x，y），则．
∵HP=PQ，∴Q（x，2y）．∴．
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．即Q点在以AB为直径的圆O上．
（3）设P（x，y）（x≠±2），则Q（x，2y），且．
又A（-2，0），∴直线AQ的方程为．
令x=2，得．又B（2，0），N为MB的中点，∴．
∴，．
∴=x（x-2）+x（2-x）=0．
∴．∴直线QN与圆O相切．