Question

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a_n²≤a_n-a_n+1成立．
（1）证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；
（2）探究a_n与的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）根据正项数列{an}，以及an2≤an-an+1，可得0＜an+1≤an-an2，解此不等式即可证明结论；
（2）根据（1），不难得出a1＜1，a2＜1，利用数学归纳法证明即可．证明时先证：①当n=1时成立．②再假设n=k（k≥1）时，成立，即，再递推到n=k+1时，成立即可．
【解析】
（1）an2≤an-an+1，得an+1≤an-an2
∵在数列{an}中an＞0，
∴an+1＞0，
∴an-an2＞0，
∴0＜an＜1
故数列{an}中的任意一项都小于1．
（2）由（1）知，
那么，
由此猜想：（n≥2）．下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，显然成立；
②当n=k时（k≥2，k∈N）时，假设猜想正确，即，
那么，
∴当n=k+1时，猜想也正确
综上所述，对于一切n∈N*，都有．