Question

已知数列{a_n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，则实数k的取值范围是    ．

Answer

由已知中数列{an}是递增数列，且对任意n∈N*都有an=2n2+kn恒成立，我们易构造一个关于k，n的不等式，而且可以得到该不等式恒成立，结合n∈N*，易求出实数k的取值范围．
【解析】
∵an=2n2+kn
∴an+1=2（n+1）2+k（n+1）=2n2+（k+4）n+2+k
又∵数列{an}是递增数列，
∴an+1＞an，即an+1-an=4n+2+k＞0恒成立
即k＞-（4n+2）恒成立
∵n∈N*
∴4n+2≥6
∴-（4n+2）≥-6
则k＞-6
即实数k的取值范围是（-6，+∞）
故答案为：（-6，+∞）