Question

已知动点P（x，y）满足log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1．
（1）求x，y所满足的等量关系式；
（2）求|x|-|y|的最小值．

Answer

（1）先考虑对数式有意义，得x+2y＞0，x-2y＞0，故x＞2|y|．另一方面，log4（x+2y）（x-2y）=1=log44，得到：x2-4y2=4．两者结合即得x，y所满足的等量关系式；
（2）设|x|-|y|=t，则|x|=|y|+t，t＞0，将其代入|x|2-4|y|2=4得|y|2-2t|y|-t2+4=0利根的判别式△≥0求得t的取值范围，从而得出|x|-|y|的最小值．
【解析】
（1）由已知，得x+2y＞0，x-2y＞0，故x＞2|y|．
另一方面，log4（x+2y）（x-2y）=1=log44，故（x+2y）（x-2y）=4，即x2-4y2=4．
∴x2-4y2=4（x＞2|y|）．
（2）设|x|-|y|=t，则|x|=|y|+t，t＞0，将其代入|x|2-4|y|2=4得
|y|2-2t|y|-t2+4=0．①
∴△=4t2-12（4-t2）=16（t2-3）≥0．
注意到t＞0，故t≥．
将t=代入方程①，解得|y|=，故|x|=＞2|y|，于是|x|-|y|的最小值是．