Question

已知函数f（x）=x，g（x）=3-x²．
（1）求函数F（x）=f（x）g（x）的极值；
（2）设m是负实数，求函数H（x）=f（x）g（x）-m的零点的个数；
（3）如果存在正实数a，b，c，使得f（a）g（b）=f（b）g（c）=f（c）g（a）＞0，试证明a=b=c．

Answer

（1）通过求解函数F（x）的导数，确定出函数的单调区间是解决本题的关键，注意一元二次不等式解法的运用；
（2）将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键，进而转化为函数的极值问题，通过相应函数的极值与m的关系列出关于m的不等式达到解决本题的目的；
（3）将该等式进行转化与化归是解决本体的关键，注意反证法在解决本题中的作用．
【解析】
（1）F（x）=3x-x3．F'（x）=3-3x2．
令F'（x）=0，得x=±1．
当x＜-1时，F'（x）＜0；当-1＜x＜1时，F'（x）＞0；当x＞1时，F'（x）＜0，故F（-1）的极小值为-2，F（1）为极大值为2．
（2）函数H（x）零点个数即为函数y=f（x）g（x）的图象与函数y=m的图象的交点个数．
由（1）的结论可知，当m＜-2时，直线y=m在函数极小值点的下方，两图象只有一个公共点，故函数H（x）只有一个零点；
当m=-2时，直线y=m恰好经过函数的极小值点，两图象有两个公共点，故函数H（x）有两个零点；
当-2＜m＜0时，函数H（x）有三个零点．
（3）题设也就是a（3-b2）=b（3-c2）=c（3-a2）＞0，且a，b，c＞0．
∴a，b，c均小于．
反设在a，b，c中有两个量不相等，不妨设a≠b，则a＞b或a＜b．
若a＞b，则由a（3-b2）=b（3-c2）知，3-b2＜3-c2，b2＞c2，b＞c．此时又由b（3-c2）=c（3-a2）得c＞a．于是a＞b＞c＞a，矛盾．同理，若a＜b，也必导出矛盾．
故a=b=c．