Question

设直线l：2x+y+2=0关于原点对称的直线为l'，若l'与椭圆x²+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

先根据直线l与直线l′关于原点对称求出直线l′的方程，与椭圆方程联立求得交点A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，再根据三角形的面积求出AB边上的高，设出P的坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l′的距离即为AB边上的高，得到关于a和b的方程，把P代入椭圆方程得到关于a与b的另一个关系式，两者联立利用根的判别式判断出a与b的值有几对即可得到交点有几个．
【解析】
直线l关于原点对称的直线l′为y=-2x+2，与椭圆联立得：解得或
则A（0，2），B（1，0），所以AB==，
因为△PAB的面积为，所以AB边上的高为
设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1；
P到直线y=-2x+2的距离d==即2a+b-2=1或2a+b-2=-1；
联立得：①或②，
把①中的b消去得8a2-12a+5=0，因为△=144-160=-16＜0，所以方程无解；
由②消去b得：8a2-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有两个不相等的根，则对应的b也有两个不等的根，所以满足题意的P的坐标有两个．
故选B