Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（1）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为；
（2）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并证明你的结论．

Answer

（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点，连接OG，证明AO⊥平面BDD1B1，说明∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．在Rt△AOG中，利用直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．求出m的值．
（2）点Q应当是AICI的中点，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，通过证明 D1O1⊥平面ACC1A1，D1O1⊥AP．利用三垂线定理推出结论．
【解析】
（1）连AC，设AC与BD相交于点O，AP与平面BDD1B1相交于点G，
连接OG，因为PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC=OG，
故OG∥PC，所以，OG=PC=．
又AO⊥BD，AO⊥BB1，所以AO⊥平面BDD1B1，
故∠AGO是AP与平面BDD1B1所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO=，即m=．
所以，当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为．
（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点，当是中点时
因为D1O1⊥A1C1，且 D1O1⊥A1A，A1C1∩A1A=A1，
所以 D1O1⊥平面ACC1A1，
又AP⊂平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP．
那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直．