Question

已知函数，直线l：y=x与y=f（x）的图象相切．（1）求实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂．①求实数b的取值范围； ②比较x₁x₂+1与x₁+x₂的大小．

Answer

（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），设出切点坐标P（x，y），利用导数的几何意义，f′（x）=1，且点P在切线和曲线上，列方程组即可解得a的值
（2）构造函数h（x）=g（x）-f（x），将问题转化为函数h（x）有两个零点x1，x2．求h（x）的导函数，解不等式得其单调区间和极值，①根据零点存在性定理，由极值及区间端点出函数值的正负，列不等式即可解得b的范围，②由①可知零点的范围，利用作差法即可比较x1x2+1与x1+x2的大小
【解析】
（1）设切点P（x，y）
∵，y=x与y=f（x）的图象相切
∴∴x=y=0    
∴a=1
（2）令
∵  （x＞0）
由h'（x）＜0，得x∈（0，1），由h'（x）＞0，得x∈（1，+∞）
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）在x=1处取得极小值h（1）=
①依题意，若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x1，x2．
需：解得
②∵h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
∴h（x）=0的根一个在（0，1）内，一个在（1，+∞）内，
不妨设0＜x1＜1，x2＞1
∴x1x2+1-（x1+x2）=（x1-1）（x2-1）＜0
∴x1x2+1＜x1+x2．