Question

已知动圆过定点（，0），且与直线x=-相切，其中p＞0．
（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β为定值θ（0＜θ＜π）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer

（I）设M为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，进而可知动点M到定点F与定直线x=-的距离相等，进而推断点M的轨迹为抛物线，进而根据抛物线性质可得答案．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），设其方程为y=kx+b，与抛物线方程联立，根据韦达定理表示出y1+y2，y1•y2，分θ=和θ≠时，求得直线方程，进而判断直线AB恒过是否定点．
【解析】
（I）如图，设M为动圆圆心，（，0）为记为F，
过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，
由题意知：|MF|=|MN|，即动点M到定点F与定直线x=-的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（，0）为焦点，x=-为准线，
所以轨迹方程为y2=2px（P＞0）；

（II）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意得x1≠x2（否则α+β=π）且x1，x2≠0．
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，显然x1=，x2=．
将y=kx+b与y2=2px（p＞0）联立消去x，得ky2-2py+2pb=0
由韦达定理知y1+y2=，y1•y2=①
（1）当θ=时，即α+β=时，tanα•tanβ=1．
所以•，x1x2-y1y2=0，-y1y2=0．
所以y1y2=4p2
由①知：=4p2，所以b=2pk．
因此直线AB的方程可表示为y=kx+2Pk．
即k（x+2P）-y=0所以直线AB恒过定点（-2p，0）
（2）当θ≠时，由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）==
将①式代入上式整理化简可得：tanθ=，所以b=+2pk．
此时，直线AB的方程可表示为y=kx++2pk．即k（x+2p）-（y-）=0．
所以直线AB恒过定点（-2p，）．
所以由（1）（2）知，当θ=时，直线AB恒过定点（-2p，0），当θ≠时直线AB恒过定点（-2p，）．