Question

设函数，在点（1，f（1））处的切线斜率为，且a＞2c＞b．
（I）判断a，b的符号；
（II）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点
（III如果函数f（x）的单调递减区间为[m，n]，求n-m的取值范围．

Answer

（1）根据在点（1，f（1））处的切线斜率为，可知，得到a、b、c的等量关系，然后利用不等式中的放缩法可判定a与b的符号；
（2）由①得f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，讨论c的符号，当c≤0时且f'（2）=a-c＞0则f（x）在区间（1，2）内至少有一个极值点，当c＞0，f'（1）=c＞0且，则f（x）在区间（0，1）内至少有一个极值点，从而证得结论；
（3）由①得2c=-3a-2b，然后消去c可求出的取值范围，根据题意可知m，n为f'（x）=0的两根，将n-m用表示，然后根据的取值范围可求出n-m的取值范围．
.【解析】
（1）∵，
∴f′（x）=ax2+bx+c
∵
∴a+b+c=-即3a+2b+2c=0①（1分）
又∵a＞2c＞b，
∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a，3a+2b+2c＞3b+2b+b=6b，
结合①得a＞0，且b＜0（3分）
（2）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
1°当c≤0时，∵a＞0∴且f'（2）=a-c＞0
∴f（x）在区间（1，2）内至少有一个极值点． （5分）
2°当c＞0，∵a＞0∴f'（1）=c＞0且
∴f（x）在区间（0，1）内至少有一个极值点． （8分）
综合1°和2°得，函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．
（3）由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0，∴
∴②（9分）
∵a＞0，f'（x）为二次函数，所以m，n为f'（x）=0的两根，
则③④（10分）
由③④得
由②得，
即n-m的取值范围是（12分）