Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击； 若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击； 若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击； 若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
（Ⅰ）求这名射手分别在第二次、第三次射击中命中目标的概率及三次射击中命中目标的概率；
（Ⅱ）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer

（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D，设在x米处击中目标的概率为P（x），则，根据射手甲在100米处击中目标的概率为求出k的值，从而求出P（B）、P（C），由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为，可求出所求；
（Ⅱ）设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3，分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可．
【解析】
（Ⅰ）记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次均未命中目标的事件为D．
依题意．
 设在x米处击中目标的概率为P（x），则，
由x=100m时，所以，k=5000，，…（2分）
∴，，…5 分
由于各次射击都是独立的，所以该射手在三次射击击中目标的概率为，
即
=． …（8分）
（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，ξ取值可能为0，1，2，3则
，
，
，

所以ξ的分布列为

ξ 1 2 3
P

所以．…（12分）