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已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8(a>2). (...

已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8(a>2).
(Ⅰ)求函数f(x)极值;
(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围.
(I)由题意,利用函数极值的概及求解过程即可; (II)由题意若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),可以转化为构造新函数,求新函数在定义域下的最值. 【解析】 (I)f′(x)=3x2+4x+1 令f′(x)=0解得x1=-1或x2=- 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下: ∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4 当x=时,f(x)取得极小值为; (Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4 ∵F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0, x∈[0,+∞) 且F′(x)=3x2+(4-2a)x 令{F^'}(x)=0,解得x=0,x= ∵a>2, ∴当时,F'(x)<0 当时,F'(x)>0 ∴当x∈(0,+∞)时, 即 解得a≤5, ∴2<a≤5 当x=0时,F(x)=4成立 故综上所述:实数a的取值范围是a∈(2,5].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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