Question

已知函数f（x）=x³+2x²+x-4，g（x）=ax²+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．

Answer

（I）由题意，利用函数极值的概及求解过程即可；
（II）由题意若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），可以转化为构造新函数，求新函数在定义域下的最值．
【解析】
（I）f′（x）=3x2+4x+1
令f′（x）=0解得x1=-1或x2=-
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4
当x=时，f（x）取得极小值为；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，
x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x2+（4-2a）x
令{F^'}（x）=0，解得x=0，x=
∵a＞2，
∴当时，F'（x）＜0
当时，F'（x）＞0
∴当x∈（0，+∞）时，
即
解得a≤5，
∴2＜a≤5
当x=0时，F（x）=4成立
故综上所述：实数a的取值范围是a∈（2，5]．