Question

已知一非零向量列{a_n}满足：a₁=（1，2），
（1）证明：{|a_n|}是等比数列；
（2）求向量a_n-1与a_n的夹角θ（n≥2）；
（3）把向量a₁，a₂，…，a_n…中所有与a₁共线的向量按原来的前后顺序排成一列，记为b₁，b₂，…，b_n，…，其中b₁=a₁，若（O是坐标原点），求S_n

Answer

（1）用等比数列的定义证明：先求，通过符合等比数列的定义可证，但要注意明确首项和公比．
（2）根据向量的夹角公式来求，先求数量积，再分别求模，代入公式求解．
（3）由（2）知，a1∥a3∥a5∥奇数项共线，则bn=a2n-1．由，得，从而有再由等比数列前n项和公式求解．
【解析】
（1）证明：，
∴
又，∴{|an|}是首项为．公比为的等比数列．（4分）
（2）∵，∴an-1与an的夹角θ=90°（6分）
（3）∴由（2）知，a1∥a3∥a5∥．即bn=a2n-1．
由，得．
∴，
∴，∴，
∴（12分）