Question

已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T．若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题设知，所以，椭圆经过点，代入可得b=1，，由此可知所求椭圆方程为
（2）首先求出动直线过（0，）点．当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：；当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1．由．由此入手可求出点T的坐标．
【解析】
（1）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
∴∴
又∵椭圆经过点，代入可得b=1，
∴，故所求椭圆方程为（3分）
（2）首先求出动直线过（0，）点．（5分）
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+y2=1
由
即两圆相切于点（0，1），因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）．事实上，点T（0，1）就是所求的点．（7分）
证明如下：
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点A（x1，y1）、（9分）==
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．（12分）