Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+x²是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求a的值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（III）讨论关于x的方程lnf（x）=x²-x+m解的情况，并求出相应的m的取值范围．

Answer

（I）由已知中函数f（x）=log2（2x+a）（a为常数）是R上的奇函数，根据奇函数的特性，定义在R上的奇函数图象必要原点，将（0，0）点代入即可得到答案．
（II）根据（I）中的结论，我们可以求出函数g（x）的解析式，进而根据函数g（x）=λx+x2是区间[-1，1]上的减函数，确定出函数在区间[-1，1]上的最大值，进而将问题转化为t2+（t+1）λ＞0，当λ≤2恒成立，进而求出满足条件的t的取值范围．
（III）由（I）中我们可得将方程lnf（x）=x2-x+m转化为lnx-x2+x=m，构造函数h（x）=lnx-x2+x，并利用导数法分析其图象和性质，即可得到答案．
【解析】
（I）∵函数f（x）=log2（2x+a）（a为常数）是R上的奇函数，
∴f（0）=log2（2+a）=log2（1+a）=0
即a=0
（II）由（I）知f（x）=x，
∴g（x）=λx+x2，
又∵函数g（x）=λx+x2是区间[-1，1]上的减函数
∴
即λ≤-2
当x=-1时，函数g（x）取最大值-λ+1
若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需要-λ+1＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
即t2+（t+1）λ＞0，其中λ≤2恒成立，
令h（λ）=t2+（t+1）λ＞0，
则，
即
∴t＜-1…（8分）
（III）由（I）得方程lnf（x）=x2-x+m
可化为lnx-x2+x=m
设h（x）=lnx-x2+x
则h′（x）=-2x+1
令h′（x）=0
则x=，x=-1（舍去）…（12分）
当x∈（0，）时，h′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，
∴x=函数有最大值-ln2，
∴当m∈（-ln2，+∞）时，原方程无解；
当m=-ln2时，原方程有唯一解；
当m∈（-∞-ln2）时，原方程有两解．…（14分）