Question

选修4-4：矩阵与变换
已知矩阵A=，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．

Answer

（I）根据特征值与特征向量的定义建立等式关系，解方程即可求出矩阵A；
（II）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=2x上的两点，求出两点在矩阵A的作用下的点的坐标，从而求出直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
【解析】
（I）由 =2，得，解得A=…（2分）
（II）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），
所以可取直线y=2x上的两点（0，0），（1，2），…（4分）
由=，得：
点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（5，-7），…（6分）
从而直线y=2x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为7x+5y=0．…（7分）