Question

函数f（x）满足，且x₁，x₂均大于e，f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁x₂）的最小值为    ．

Answer

先通过解方程得函数f（x）的解析式，由f（x1）+f（x2）=1，代入解析式并化简后得lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3，利用均值定理即可求得ln（x1•x2）的取值范围，最后将x1•x2代入解析式得f（x1x2），利用函数单调性即可得其范围
【解析】
∵，∴lnx-lnx•f（x）-1-f（x）=0∴f（x）=
∵f（x1）+f（x2）=1，
∴+===1
∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3
∵x1，x2均大于e
∴lnx1，lnx2均大于1
∴lnx1lnx2=ln（x1•x2）+3≤=
∴ln2（x1•x2）-4ln（x1•x2）-12≥0
∴ln（x1•x2）≤-2（舍去）或ln（x1•x2）≥6
∴ln（x1•x2）≥6
∵f（x1x2）==1-≥1-= 
（当且仅当即x1=x2=e3时取等号）
故答案为