Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°．设，若，则λ₁+λ₂=    ．

Answer

建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ1和λ2  的值．
【解析】
如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为-，
∴中垂线n的方程为 y-=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），
由条件 =λ1 +λ2 ，
得（1，）=λ1（2，0）+λ2（-，）=（2λ1-λ2，λ2 ），
∴2λ1-λ2=1，λ2=，∴λ1=，λ2=，∴λ1+λ2 =，
故答案为．