Question

国家加大水利工程建设，某地区要修建一条灌溉水渠，其横断面为等腰梯形（如图），底角A为60，考虑到坚固性及用料原因，要求其横断面的面积为平方米，记水渠深为x米，用料部分的周长（即渠底BC及两腰长的和）为y米，
（1）．求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）．当水渠的腰长x为多少米时，水泥用料最省（即断面的用料部分的周长最小）？求此时用料周长的值
（3）．如果水渠的深限制在范围内时，横断面用料部分周长的最小值是多少米？

Answer

（1）求y关于x的函数关系式，关键是求渠底BC及两腰的长；
（2）先利用解直角三角形知识求横截面的周长，再结合基本不等式求出周长面积的最小值即可；
（3）先利用函数单调性的定义探求（2）中周长函数的单调性，再结合所给自变量的范围即可求横截面周长的最小值．
【解析】
（1）由，及，
得，又，得，-----------------------（4分）
所以，定义域为------------------------（6分）
（2），当且仅当，即时等号成立，
所以用料周长最少为米，此时腰长为米．----------------------（10分）
（3），递增，所以x=3时，米-------------------------（15分）