Question

如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）²+y²=r²是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
（Ⅰ） 求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求圆O'的半径r；
（Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆G的离心率为，左顶点A（-4，0），可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 可取BC⊥X轴时来研究，则可设B（2+r，y），过圆心G作GD⊥AB于D，BC交长轴于H由即 ，再由点B（2+r，y）在椭圆上，建立关于r的方程求解．
（Ⅲ）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx，由圆心到直线的距离等于半径求，与椭圆方程联立，表示出E，F和坐标，从而得到EF所在的直线的方程，再探讨圆心到直线的距离和半径的关系．
【解析】
（Ⅰ） ，a=4得，椭圆G方程为-------（5分）
（Ⅱ）设B（2+r，y），过圆心o'作O'D⊥AB于D，BC交长轴于H
由得，即     （1）---------（7分）
而点B（2+r，y）在椭圆上，（2）-----（9分）
由（1）、（2）式得15r2+8r-12=0，解得或（舍去）-------（11分）
（Ⅲ）直线EF与圆O'的相切
设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为：y-1=kx（3）
则，即32k2+36k+5=0（4）
解得
将（3）代入得（16k2+1）x2+32kx=0，则异于零的解为-------（13分）
设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则
则直线FE的斜率为：
于是直线FE的方程为：即
则圆心（2，0）到直线FE的距离故结论成立．------------（15分）