Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C₁Q-C的余弦值为，求实数λ的值．

Answer

以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，分别求出平面C1PQ法向量和面C1PQ的一个法向量，然后求出两法向量的夹角，建立等量关系，即可求出参数λ的值．
【解析】
以为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为
A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；
A1（0，0，4），B1（4，0，4），C1（4，4，4），
D1（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．（2分）
设平面C1PQ法向量为，
而，，
所以，
可得一个法向量=（1，-2（λ-1），（λ-1）），（6分）
设面C1PQ的一个法向量为，
则，（8分）
即：，又因为点Q在棱CD上，所以．（10分）