Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1（n≥3），记b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n（n≥3）．
（1）求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设，数列{}的前n项和为S_n，求证：n＜S_n＜n+1．

Answer

（1）方法一：直接根据条件求出bn-1的表达式，再与bn-2=的表达式作差，结合递推关系式，整理即可证明数列{bn}为等差数列；即可求出求其通项公式；
方法二：先根据数列{an}的递推公式得到an+12=an+2-an+1+1；再代入bn=a12+a22+…+an+22-a1a2…an+2整理可得bn=n+3；即可说明结论．
（2）先求出cn的表达式，进而得到===；再代入求出Sn，即可得到结论．
【解析】
（1）方法一  当n≥3时，因bn-2=a12+a22+…+an2-a1a2…an①，
故bn-1=a12+a22+…+an2+an+12-a1a2…anan+1②． …（2分）
②-①，得  bn-1-bn-2=an+12-a1a2…an（an+1-1）=an+12-（an+1+1）（an+1-1）=1，为常数，
所以，数列{bn}为等差数列． …（5分）
因  b1=a12+a22+a32-a1a2a3=4，故  bn=n+3．   …（8分）
方法二  当n≥3时，a1a2…an=1+an+1，a1a2…anan+1=1+an+2，
将上两式相除并变形，得  an+12=an+2-an+1+1．…（2分）
于是，当n∈N*时，bn=a12+a22+…+an+22-a1a2…an+2
=a12+a22+a32+（a5-a4+1）+…+（an+3-an+2+1）-a1a2…an+2
=a12+a22+a32+（an+3-a4+n-1）-（1+an+3）
=10+n-a4．
又a4=a1a2a3-1=7，故bn=n+3（n∈N*）．
所以数列{bn}为等差数列，且bn=n+3． …（8分）
（2）因  cn==，…（12分）
故  ===．
所以  =，…（15分）
即  n＜Sn＜n+1． …（16分）