Question

在正四面体P-ABC中，M为△ABC内（含边界）一动点，且点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离成等差数列，则点M的轨迹是（ ）
A．一条线段
B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分

Answer

先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d-a，d，d+a，正四面体P-ABC中各个面的面积为S，体积为V，用等体积法可d为常数且等于高h的三分之一，再作一个平面α使α平行于面SBC且它们的面面距离为d，则α与面ABC的交线即为点M的轨迹，从而解决问题．
【解析】
设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为d-a，d，d+a 
正四面体P-ABC中各个面的面积为S，体积为V，
用等体积法可知：
S（d-a+d+d+a ）=3V
所以d为常数且等于高h的三分之一，
作一个平面α使α平行于面SBC且它们的面面距离为d
则α与面ABC的交线即为点M的轨迹
易知p的轨迹为一条线段．
故选A．