Question

已知函数f（x）=x+-1，当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|与|f（tx+1）|的大小关系是（ ）
A．|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
B．|t+x|+|t-x|≤|f（tx+1）|
C．|t+x|+|t-x|＞|f（tx+1）|
D．|t+x|+|t-x|≥|f（tx+1）|

Answer

设M（x）=|t+x|+|t-x|，由于M（-x）=M（x），故它是偶函数，画出其图象如图所示，结合图象得当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|＜2；又设N（x）=|f（tx+1）|，由于N（-x）=N（x），故它也是偶函数，当0＜t≤1，0＜x＜1时，N（x）=tx+利用基本不等式得出N（x）有最小值2．从而得出答案．
【解析】
设M（x）=|t+x|+|t-x|，由于M（-x）=M（x），
故它是偶函数，
其图象如图所示，它在[-1，1]上的最大值为2，
故当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|＜2；
又设N（x）=|f（tx+1）|=|tx+|，
由于N（-x）=N（x），故它也是偶函数，
当0＜t≤1，0＜x＜1时，N（x）=tx+≥2，
故当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，N（x）=|f（tx+1）|≥2，
所以，当0＜|x|＜1，0＜|t|≤1时，|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
故选A．