Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC₁=4，E在BB₁上，且EB₁=1，D、F分别为CC₁、A₁C₁的中点．
（1）求证：B₁D⊥平面ABD；
（2）求异面直线BD与EF所成的角；
（3）求点F到平面ABD的距离．

Answer

（1）由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB1上，且EB1=1，我们根据勾股定理，可得B1D⊥DB，再由直三棱柱的性质可得BA⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理可得B1D⊥面ABD；
（2）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，我们可得∠GEF或其补角为BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出异面直线BD与EF所成的角；
（3）设F到面ABD的距离为d，过B作BH⊥AC于H，则BH⊥面ACC1A1，求出棱锥F-ABD的体积及底面面积即可求出点F到平面ABD的距离．
证明：（1）由条件得
∴BD2+DB12=BB12
∴B1D⊥DB，
又AB⊥面BCC1B1，
∴BA⊥B1D
∴B1D⊥面ABD（3分）
【解析】
（2）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A1B1⊥面BCC1B1，GF∥A1B1∴FG⊥面BCC1B1，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，，∴
∴BD与EF所成角为（8分）
（3）设F到面ABD的距离为d，过B作BH⊥AC于H，则BH⊥面ACC1A1
∵VF-ABD=VB-DAF，∴
∴
∴（12分）