Question

设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y=x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是    ．

Answer

分圆心C在第一象限和第三象限两种情况，当圆心C1在第一象限时，过C1分别作出与x轴和y轴的垂线，根据角平分线的性质得到四边形OBCD为正方形，连接C1A，由题意可知圆C与y轴截得的弦长为4，根据垂径定理即可求出正方形的边长即可得到圆心C的坐标，在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的方程；当圆心C在第三象限时，同理可得圆C的方程．
【解析】
根据题意画出图形，如图所示：

当圆心C1在第一象限时，过C1作C1D垂直于x轴，C1B垂直于y轴，连接AC1，
由C1在直线y=x上，得到C1B=C1D，则四边形OBC1D为正方形，
∵与y轴截取的弦OA=4，∴OB=C1D=OD=C1B=2，即圆心C1（2，2），
在直角三角形ABC1中，根据勾股定理得：AC1=2，
则圆C1方程为：（x-2）2+（y-2）2=8；
当圆心C2在第三象限时，过C2作C2D垂直于x轴，C2B垂直于y轴，连接AC2，
由C2在直线y=x上，得到C2B=C2D，则四边形OB′C2D′为正方形，
∵与y轴截取的弦OA′=4，∴OB′=C2D′=OD′=C2B′=2，即圆心C2（-2，-2），
在直角三角形A′B′C2中，根据勾股定理得：A′C2=2，
则圆C1方程为：（x+2）2+（y+2）2=8，
∴圆C的方程为：（x-2）2+（y-2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8．
故答案为：（x-2）2+（y-2）2=8或（x+2）2+（y+2）2=8