Question

已知数列{a_n}，{b_n}，其中，数列{a_n}的前n项和S_n=n²a_n（n≥1），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在自然数m，使得对于任意n∈N^*，n≥2，有恒成立？若存在，求出m的最小值；
（Ⅲ）若数列{c_n}满足当n是偶数时，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．
（Ⅱ）bn=2n．假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，由此能导出m的最小值．
（Ⅲ）当n是奇数时，，当n是偶数时，，由此能推导出当n是偶数时，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（Ⅰ）因为Sn=n2an（n≥1），
当n≥2时，Sn-1=（n-1）2an-1．
所以an=Sn-Sn-1=n2an-（n-1）2an-1．
所以（n+1）an=（n-1）an-1．
即．
又，
所以==．
当n=1时，上式成立
因为b1=2，bn+1=2bn，
所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=2n．
则．
假设存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立，
即恒成立．
由，解得m≥16．
所以存在自然数m，使得对于任意n∈N*，n≥2，有恒成立．此时m的最小值为16．
（Ⅲ）当n是奇数时，
=（2+4++n+1）+（22+24++2n-1）=
=．
当n是偶数时，
=（2+4++n）+（22+24++2n）==．
因此