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如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱VA⊥底面ABCD,E、F...

如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱VA⊥底面ABCD,E、F、G分别为VA、VB、BC的中点.
(I)求证:平面EFG∥平面VCD;
(II)当二面角V-BC-A、V-DC-A分别为45°、30°时,求直线VB与平面EFG所成的角.

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(I)由已知中E、F、G分别为VA、VB、BC的中点,根据三角形中位线定理可得,EF∥CD,FG∥VC,由面面平行的判定定理可得平面EFG∥平面VCD; (II)方法一:由已知中二面角V-BC-A、V-DC-A分别为45°、30°,我们可得,∠VDA=30°,∠VBA=45°,作AH⊥VD,垂足为H,则AH⊥平面VCD,即AH即为B到平面VCD的距离,则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角,解三角形VAH,即可求出直线VB与平面EFG所成的角. 方法二:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设VA=VB=1,BC=,我们分别求出直线VB的方向向量和平面EFG的一个法向量,代入向量夹角公式,即可得到直线VB与平面EFG所成的角. 【解析】 (I)∵E、F、G分别为VA、VB、BC的中点,∴EF∥AB,FG∥VC, 又ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴EF∥CD, 又∵EF⊄平面VCD,FG⊄平面VCD ∴EF∥平面VCD,FG∥平面VCD, 又EF∩FG=F,∴平面EFG∥平面VCD. …(4分) (II)方法一: ∵VA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥VD. 则∠VDA为二面角V-DC-A的平面角,∠VDA=30°. 同理∠VBA=45°.  …(7分) 作AH⊥VD,垂足为H,由上可知CD⊥平面VAD,则AH⊥平面VCD. ∵AB∥平面VCD,∴AH即为B到平面VCD的距离. 由(I)知,平面EFG∥平面VCD,则直线VB与平面EFG所成的角等于直线VB与平面VCD所成的角,记这个角为θ. ∵AH=VA•sin60°=VA VB=VA ∴sinθ==…(11分) 故直线VB与平面EFG所成的角arcsin   …(12分) 方法二: ∵VA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥VD. 则∠VDA为二面角V-DC-A的平面角,∠VDA=30°. 同理∠VBA=45°.  …(7分) 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设VA=VB=1,BC=, 则V(0,0,1),B(0,1,0),D(,0,0),C(,1,0) 设平面EFG的法向量为=(x,y,z), 则n亦为平面VCD的法向量. ∵=(0,1,0),=(,1,-1), ∴ 则向量=(1,0,)为平面EFG的一个法向量 设直线VB与平面EFG所成的角为θ, ∵=(0,1,-1)则sinθ=|cos<,>==   …(11分) 故直线VB与平面EFG所成的角arcsin   …(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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