Question

已知：二次函数g（x）是偶函数，且g（1）=0，对∀x∈R，有g（x）≥x-1恒成立，令f（x）=g（x）+mlnx+，（m∈R）
（I）求g（x）的表达式；
（II）当m＜0时，若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求m的最大值；
（III）设1＜m＜2，H（x）=f（x）-（m+1）x，证明：对∀x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer

（I）直接设出g（x）的表达式，根据偶函数求出b的值，根据g（1）=0得到a与c的关系，利用不等式x-1≤g（x）恒成立，则a＞0，且△≤0求出a，即可求出函数的解析式．
（II）先求出函数f（x）的表达式，在对实数m分情况求出对应函数f（x）的值域，让实数m与函数f（x）的最小值比较即可求实数m的取值范围；
（III）先求出函数H（x）在[1，m]单减，进而得 ，转化为求 的最大值问题即可．
解（I）设g（x）=ax2+bx+c（a≠0），
∵g（x）是偶函数，∴g（-x）=g（x）∴b=0
又g（1）=0∴a+c=0，
∴g（x）=ax2-a
∵x-1≤g（x）对∀x∈R恒成立，
∴ax2-a≥x-1恒成立，
∴a＞0，且△≤0得 ，
∴．
（II） =，

当m＞0时，f（x）的值域为R
当m=0时，恒成立
当m＜0时，令

x
f'（x） - +
f（x） ↘ 极小 ↗

这时
若∃x＞0使f（x）≤0成立则只须f（x）min≤0即m≤-e，
综上所述，实数m的取值范围（-∞，-e）∪（0，+∞）．
（III）∵，所以H（x）在[1，m]单减
于是 ，
，
记 ，则
所以函数h（m）在[1，e]是单增函数
所以
故命题成立．