Question

“0＜a≤1”是“关于x的方程ax²+2x+1=0至少有一个负根”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

这是一个二次型方程，首先我们要分析当a=0时，方程是否有负根，再分析当a≠0时，方程存在负根的情况，综合即可得到结论．
【解析】
当a=0时，方程ax2+2x+1=0
可化为方程2x+1=0方程存在一个负根
当a≠0时，若关于x的二次方程ax2+2x+1=0有根
则△=4-4a≥0，即a≤1
若方程ax2+2x+1=0无负根
则x1+x2=-≥0，x1•x2=≥0，
这种情况不存在
故关于x的方程ax2+2x+1=0，至少有一个负根的充要条件是a≤1
又“0＜a≤1”成立，“a≤1”但反之“a≤1”成立，“0＜a≤1”不一定成立，
所以“0＜a≤1”是“关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根”的充分不必要条件．
故选A．