Question

已知f（x）是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3），且f（1）=2，则f（2009）的值为（ ）
A．0
B．-2
C．2
D．2009

Answer

根据已知等式取x=-3，得到f（3）=f（-3）+f（3）．再利用原函数为偶函数得到f（3）=f（-3）=0，代入已知等式得到f（x+6）=f（x）说明函数的周期为6，最后利用这个周期得到f（2009）=f（-1）=f（1）=2．
【解析】
∵f（x+6）=f（x）+f（3），对任意x∈R成立，
∴令x=-3，则f（3）=f（-3）+f（3），
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（3）=f（-3）=0．
∴代入已知条件，得：f（x+6）=f（x），
∴f（2009）=f（-1+6×335）
=f（-1）=f（1）=2
故选C．