Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer

（1）令n等于1代入an=5Sn+1中，即可求出首项a1，然后把n换为n+1，利用an=5Sn+1表示出an+1，两个式子相减并利用Sn+1-Sn=an化简后即可得到的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可；
（2）由an=5Sn+1解出Sn，把第一问求出的{an}的通项公式代入即可得到Sn的通项公式，并表示出S2n，把表示出的式子代入到所证不等式的左边，讨论n为偶数和奇数得到比值的最小值为，得证．
【解析】
（1）当n=1时，a1=5S1+1，∴a1=-，
又∵an=5Sn+1，an+1=5Sn+1+1，
∴an+1-an=5an+1，即且an≠0，n∈N*，
∴数列{an}是首项为a1=-，公比为q=-的等比数列，
∴an=（-）n；
（2），
∵，∴，∴Sn≠0，
又，
当n=2m，m∈N*（偶数）时，比值=，
当n=2m-1，m∈N*（奇数）时，比值=，
关于m为递增数列，当m=1时，取到最小值，
综上所述，对任何正整数n，不等式恒成立．