Question

已知函数，其中a≠0
（1）若a=1，且f（x）的导函数的图象关于直线x=2对称时．试求f（x）在区间[0，2]上的最小值．
（2）若a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．

Answer

（1）先求出f′（x），把a=1时代入到导函数中，然后因为f（x）的导函数的图象关于直线x=2对称得到b的值，确定出函数解析式．在区间[0，2]上讨论函数的增减性，判断求得函数的最小值；
（2）由f（x）在区间（0，1]上单调递增得到导函数大于0，ax2+2bx+3＞0，∀x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax2-3即2b＞=-（ax+），设y=ax+，讨论a的取值求出y的最小值即可得到b的取值范围．
【解析】
f′（x）=ax2+2bx+3（2分）
（1）∵a=1
∴f′（x）=x2+2bx+3=（x+b）2+3-b2，
f（x）的导函数的图象关于直线x=2对称
∴b=-2，f′（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3）（4分）

f（x）在区间[0，2]上的最小值=min{（7分）
（2）由a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，
知：ax2+2bx+3＞0，∀x∈（0，1]恒成立2bx＞-ax2-3
∵（10分）
为求最大值，先以下求函数的最小值
当时，y′（x）在上为负，在为正，
即y（x）在上递减，在递增y（x）的最小值是
当时，y′（x）在区间（0，1]上恒为负，
即y（x）在区间（0，1]上单调递减，所以y（x）的最小值是y（1）=a+3（13分）
经检验，以上端点值也符合．
综上所述，当a＞3时，b的取值范围是
当0＜a≤3时b的取值范围是（15分）