Question

设函数f（x）=blnx-（x-1）²，其中b为常数．
（Ⅰ）若b=4，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若函数f（x）有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（Ⅲ） 证明：对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．

Answer

（Ⅰ）先求函数的导函数f′（x），b=4时，解不等式f′（x）＜0，即可得函数的单调递减区间
（II）函数的定义域为（0，+∞），函数f（x）有极值点即方程f′（x）=0有正根，从而求得b的范围，但要求极值点，必须讨论极值点的个数，分两种情况分别讨论函数的单调区间，得相应的极值点
（Ⅲ）所证不等式即ln-（-1）2＞0，结合（II），只需证明b=1，且n≥3时，f（）＞0，因为f（1）=0，故只需利用函数f（x）=lnx-（x-1）2在（1，）上为增函数即可得证
【解析】
∵f′（x）=-2（x-1）=
（Ⅰ）∵b=4∴f′（x）== （x＞0）
由f′（x）＜0，得x＞2
∴函数f（x）的单调递减区间为（2，+∞）
（II）∵函数f（x）有极值点，∴f′（x）=0有正根，
即2x2-2x-b=0有正根
∵y=2x2-2x-b的对称轴为＞0，
∴只需△=4+8b＞0，∴b＞-
①若-＜b＜0，∵2x2-2x-b=0的两根之积为-＞0，∴此方程有两个正根，
函数f（x）在（0，）上为减函数，在（，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数
∴函数f（x）的极小值点为x=，极大值点为x=
②若b≥0，∵2x2-2x-b=0的两根之积为-≤0，∴此方程有一个正根
函数f（x）在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数
∴函数f（x）无极小值点，极大值点为x=
综上所述，-＜b＜0时，函数f（x）的极小值点为x=，极大值点为x=；
b≥0时，函数f（x）无极小值点，极大值点为x=
（Ⅲ）令b=1，由（II）知，函数f（x）=lnx-（x-1）2在（0，）上为增函数，在（，+∞）上为减函数，且f（1）=0
令t=（n≥3），则1＜t＜
∵函数f（x）=lnx-（x-1）2在（1，）上为增函数，
∴f（t）＞f（1）=0
即f（）＞0
即ln-（-1）2＞0
∴对任意不小于3的正整数n，不等式都成立