Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点，曲线C₁的离心率为，若，．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以=，因为，所以可求出a，再根据，求出C，就可得到b的值，求出椭圆方程．也就可得F2的坐标，再根据曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，求出抛物线方程．
（Ⅱ）先设出B，E，C，D四点坐标，以及过F2作的与x轴不垂直的直线方程，分别代入椭圆方程和抛物线方程，求y1+y2，
y1y2，y3+y4，y3y4，再代入，化简即可．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，则2a=，得a=3
所以椭圆方程为，抛物线方程为y2=4x．    
（Ⅱ）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y=k（x-1），代入得：，即（8+9k2）y2+16ky-64k2=0
则=-，y1y2=-
同理，y=k（x-1），代入y2=4x得，ky2-4y-4k=0
则y3+y4=，y3y4=-4
∴==3