Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求证：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．

Answer

（Ⅰ）C1D所在平面CDD1C1平行平面ABB1A1，即可证明C1D∥平面ABB1A1；
（Ⅱ）以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A1C1D的一个法向量为=（1，1，0），利用求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）平面A1C1A的法向量为=（a，b，c），利用cosα=，求二面角D-A1C1-A的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）证明：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，
又CC1⊄面ABB1A1，所以CC1∥平面ABB1A1，（2分）ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD⊄面ABB1A1，所以CD∥平面ABB1A1，（3分）
所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1，
所以C1D∥平面ABB1A1．（4分）
（Ⅱ）【解析】
ABCD是正方形，AD⊥CD，
因为A1D⊥平面ABCD，
所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz，．（5分）
在△ADA1中，由已知可得，
所以，，，（6分）
因为A1D⊥平面ABCD，
所以A1D⊥平面A1B1C1D1，A1D⊥B1D1，
又B1D1⊥A1C1，
所以B1D1⊥平面A1C1D，（7分）
所以平面A1C1D的一个法向量为=（1，1，0），（8分）
设与n所成的角为β，
则（9分）
所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为．（10分）
（Ⅲ）【解析】
设平面A1C1A的法向量为=（a，b，c），
则，
所以-a+b=0，，
令，可得，（12分）
设二面角D-A1C1-A的大小为α，
则cosα===．
所以二面角D-A1C1-A的余弦值为．（13分）