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已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数). (1)若...

已知函数f(x)=|ax-2|+blnx(x>0,实数a,b为常数).
(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;
(2)若a≥2,b=1,求方程manfen5.com 满分网在(0,1]上解的个数.
(1)先去掉绝对值转化为分段函数,每一段用导数法研究,因为是增函数,则导数大于等于零恒成立,最后每一段的结果取交集. (2)先构造g(x)=|ax-2|+lnx-,即g(x)=,每一段再用导数法研究. 【解析】 (1) ①当0<x<2时,f(x)=-x+2+blnx,f′(x)=-1+. 由条件,得≥0恒成立,即b≥x恒成立. ∴b≥2 ②当x≥2时,f(x)=x-2+blnx,f'(x)=1+. 由条件,得≥0恒成立,即b≥-x恒成立 ∴b≥-2 ∵f(x)的图象在(0,+∞)不间断, 综合①,②得b的取值范围是b≥2. (2)令,即 当时,,, ∵,∴,则 即g'(x)>0,∴g(x)在上是单调增函数. 当时,, ∴g(x)在上是单调增函数. ∵g(x)的图象在(0,+∞)上不间断, ∴g(x)在(0,+∞)上是单调增函数. ∵,而a≥2,∴,则.g(1)=|a-2|-1=a-3 ①当a≥3时, ∵g(1)≥0 ,∴g(x)=0在(0,1]上有惟一解. 即方程解的个数为1个. ②当2≤a<3时, ∵g(1)<0, ∴g(x)=0在(0,1]上无解. 即方程解的个数为0个.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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