Question

已知下列两个命题：p：∀x∈[0，+∞），不等式恒成立；q：1是关于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一个解．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是    ．

Answer

两个命题中有且只有一个是真命题，则需要对p、q的谁真谁假分情况讨论．对于命题p可以利用分参思想转化为恒成立问题．对于命题q知道该表达式的一个解，直接代入就可求出q．
【解析】
命题p：当x=0时，有0≥-1，显然成立．即a∈R．
当x＞0时，有恒成立．
令f（x）=，则f（x）=-（-）2+，即f（x）max=
∴命题 p：当x=0时，a∈R；   当x＞0时，a．
命题q：∵1是关于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一个解，
∴-a（1-a）≤0
∴a（a-1）≤0，解得：0≤a≤1
即，命题q：0≤a≤1
∵两个命题中有且只有一个是真命题，
综上所述，当p真q假时，实数a的取值范围为a＞1
当p假q真时，实数a的取值范围[0，）