Question

设F为抛物线y²=2x-1的焦点，Q （a，2）为直线y=2上一点，若抛物线上有且仅有一点P满足|PF|=|PQ|，则a的值为    ．

Answer

先设P（x，y），根据抛物线的方程易得抛物线y2=2x-1的焦点坐标，由|PF|=|PQ|利用两点间的距离公式结合抛物线的方程消x得出关于y的一元方程（a-1）y2+4y-a2+a-4=0，通过讨论此方程解的情况即可求出正确答案．
【解析】
设P（x，y）．
易得抛物线y2=2x-1的焦点：F（1，0）
由|PF|=|PQ|⇒（x-1）2+y2=（x-a）2+（y-2）2
对上式整理得：2（a-1）x=a2-4y+3
2（a-1）x=a2-4y+3
将2x=y2+1代入上式得：（a-1）y2+4y-a2+a-4=0
当a=1时⇒方程只有一【解析】
x=1，y=1
当a≠1时，由△=0⇒a=0⇒方程只有一【解析】
x=，y=2
综上所述：a=0或a=1．
故答案为：0或1．