Question

如图，△ABC为一个等腰三角形的空地，底边AB长为4（百米），腰长为3（百米），现决定在空地上修一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形周长相等，面积分别为S₁和S₂，
（1）若小路一端E为AC中点，求小路的长度；
（2）求的最小值．

Answer

（1）小路一端E为AC中点，则F在BC，利用四边形和三角形周长相等．求出CF，然后求出cosC，利用余弦定理求小路EF的长度；
（2）若E、F在两腰上，设CE=x，CF=y，表示出的表达式，通过基本不等式求出最小值．
若点E、F在一腰和底上，设E在CA上，F在AB上，设AE=x，AF=y，表示出的表达式，通过基本不等式求出最小值．
【解析】
（1）易知F在BC上，则AB+BF+FE+AE=EC+EF+CF，∵E为AC中点，∴AE=EC，
BF=4-CF，上式化为BF=，即CF=，，
根据余弦定理，EF2=CF2+CE2-2CF•CEcosC==，
∴EF=
（2）若E、F在两腰上，设CE=x，CF=y，
∴x+y=5，

当且仅当时取“=”号
若点E、F在一腰和底上，设E在CA上，F在AB上，设AE=x，AF=y，
∴x+y=5，
当且仅当时取“=”号
所以最小值为．