Question

已知函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{a_n}满足a₁=，ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+f
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a=1，证明：数列是等差数列；
（3）在（2）的条件下，证明：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln．

Answer

（1）f'（x）=-，当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（-1，+∞）递减；当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0．由此能f（x）的单调性．
（2）由an+1=，知，所以，由此能证明数列是等差数列．
（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减，所以ln（x+1）≤x，故ln（，由此能够证明a1+a2+…an=n-（．
【解析】
（1）f'（x）=-
当a≤0时，f'（x）＜0，
则f（x）在（-1，+∞）递减；
当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；
x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0；
∴当a＞0时，在（-1，a-1）上f（x）递增，
在（a-1，+∞）上f（x）递减…..（4分）
（2）∵函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{an}满足a1=，
ln（2an+1）=an+1•an+f（an+1•an），a=1，
∴ln（2an+1）=an+1•an+ln（an+1•an+1）-an+1•an，
∴ln（2an+1）=ln（an+1•an+1），
∴2an+1=an+1•an+1，
∴an+1=，
∴，
∴，
∴是等差数列…..（8分）
（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，
在（0，+∞）递减，
∴f（x）≤f（0）=0，
即：ln（x+1）≤x，
∴ln（≤，
由（2）得：an=1-，
∴a1+a2+…an
=1-+1-+…+1-
=n-（
＜n-[ln（）+ln（）+…+ln（）]
=n-[ln（）]
=n-ln
=n+ln．…（13分）