Question

已知P、Q是抛物线C：y=x²上两动点，直线l₁、l₂分别是抛物线C在点P、Q处的切线，且l₁⊥l₂，l₁∩l₂=M．
（1）求点M的纵坐标；
（2）直线PQ是否经过一定点？试证之；
（3）求△PQM的面积的最小值．

Answer

（1）由题意，点M是两切线的交点，故可以求出两条切线的方程，解出两切线交点的坐标即点M的坐标，再由两切线垂直，其斜率的乘积为-1，求出点M的纵坐标；
（2）由点斜式写出过两点的直线的方程，易得其过定点（0，）；
（3）由题意，可由两点间距离公式求出线段PQ的参数表达式，再由点到直线的距离公式求出点M到直线PQ的参数表达式，由面积公式建立面积关于参数的函数，求出函数的最值，即可得到面积的最值．
【解析】
（1）设P（x1，x12），Q（x2，x22），（x1≠x2），又y'=2x，则：）
又l1⊥l2，则4x1•x2=-1⇒x1•x2=-，∴yM=-…．（4分）
（2）PQ：y-x12=
∴PQ恒过定点（0，）…（8分）
（3）令x1+x2=k，则M（），PQ：y=kx+
∴M到PQ的距离d=
又|PQ|=
=
∴S△PQM=（此时k=0）…..（14分）