Question

在△ABC中，三内角A，B，C，三边a，b，c满足，
（1）求∠A；
（2）若a=6，求△ABC面积最大值．

Answer

（1）利用正弦定理把等式中的边转换成角的正弦，化简整理可求得cosA的值，进而可求A．
（2）把a和∠A代入余弦定理求得36=b2+c2-2bccos120°根据均值不等式求得bc的范围，进而代入三角形面积公式，根据bc的范围确定三角形面积的范围，进而可求的最大值．
【解析】
（1）以正弦定理可知等式可化为=，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴=，
故sinB=sin（A-B）-sin（A+B）=sinAcosB-cosAsianB-sianAcosnB-cosAsianB=-2cosAsianB．
又sinB≠0，
∴cosA=-，∴∠A=120°
（2）根据余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA，
而a=6，∠A=120°，
∴36=b2+c2-2bccos120°=b2+c2+bc≥3bc，
即bc≤12，当b=c=2时取等号，
∴S△ABC=bcsinA=bc≤3．
故三角形面积的最大值为3