Question

已知f（x）=-，数列{a_n} 的前n项和为S_n，点在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：S_n＞，n∈N^*．

Answer

（1），且an＞0，所以，所以，（n∈N*），由此能求出数列{an} 的通项公式．
（2）由，，得（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），
所以，由此能求出数列{bn}的通项公式．
（3）由，知＞．由此能够证明Sn＞，n∈N*．
（1）【解析】
，且an＞0，
∴，
∴，（n∈N*），
∴数列{}是等差数列，首项=1，公差d=4
∴，
∴，
∵an＞0，
∴…（4分）
（2）【解析】
由，
得（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n-3）（4n+1），
∴，
∴数列是等差数列，首项为，公差为1
∴，∴Tn=4n2-3n当n≥2时，bn=Tn-Tn-1=8n-7b1=1也满足上式
∴bn=8n-7，n∈N*．…（8分）
（3）证明：，
∴＞
=．
∴Sn=a1+a2+…+an＞…（12分）