Question

如图所示，椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
（ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
（ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer

（1）由已知中椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），且过点．我们可得c=1，进而求出b2，a2的值，即可得到椭圆C的方程；
（2）（i）由题可设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），则，进而求出AF与BN的方程，设M（x，y），可得x=，y=代入椭圆方程可得结论．
（ⅱ）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程得（3t2+4）y2+6ty-9=0，设A（x1，y1）、M（x2，y2），则有y1+y2=，y1•y2=，进而|y1-y2|的最大值，进而，根据△AMN的面积S△AMN=|NF|•|y1-y2|可得答案．
【解析】
（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）的一个焦点为 F（1，0），
∴c=1，
又∵椭圆C：过点
∴，
解得b2=3，a2=4，
所以椭圆C的方程为…（3分）
（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0）．
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0），
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，n（x-4）+（m-4）y=0．
设M（x，y），则有
n（x-1）-（m-1）y=0，且n（x-4）+（m-4）y=0．
由上得x=，y=                      …（6分）
由于=+===1
所以点M恒在椭圆C上．             …（8分）
（ⅱ）【解析】
设AM的方程为x=ty+1，代入，
得（3t2+4）y2+6ty-9=0
设A（x1，y1）、M（x2，y2），则有y1+y2=，y1•y2=，．
|y1-y2|==．…（10分）
令=λ（λ≥1），则
|y1-y2|==
因为函数y=3λ+在[1，+∞）为增函数，
所以当λ=1即t=0时，函数y=3λ+有最小值4．
即t=0时，|y1-y2|有最大值3，
△AMN的面积S△AMN=|NF|•|y1-y2|有最大值 ．…（13分）