Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）证明数列是等差数列；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n；
（3）设，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有成立，求m的最大值．

Answer

（1）由Sn=2an-2n+1，得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．所以an-2an-1=2n（n≥2）．由此能够证明数列是等差数列．
（2）因为S1=2a1-22，所以a1=4.，故an=（n+1）•2n，Sn=n•2n+1，所以Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，由错位相减法能求出数列{Sn}的前n项和Tn．
（2）因为=，则．令，能导出f（n+1）＞f（n），由此能求出m的最大值．
【解析】
（1）由Sn=2an-2n+1，
得Sn-1=2an-1-2n（n≥2）．
两式相减，得an=2an-2an-1-2n，
即an-2an-1=2n（n≥2）．
于是，
所以数列是公差为1的等差数列．…（2分）
（2）因为S1=2a1-22，
所以a1=4．
所以，
故an=（n+1）•2n．…（3分）
所以Sn=2an-2n+1=2（n+1）2n-2n+1=n•2n+1…（4分）
所以Tn=S1+S2+S3+…+Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1…①
2Tn=1×23+2×24+3×25+…+n•2n+2…②…（6分）
由①-②得：…（7分）
所以Tn=22（1-2n）+n•2n+2=（n-1）•2n+2+4…（8分）
（2）因为=，
则．…（10分）
令，
则．
所以=．
即f（n+1）＞f（n），
所以数列{f（n）}为递增数列．…（12分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为．
据题意，，即．又m为整数，
故m的最大值为11．…（14分）